TITLE: 因素分析(Factor Analysis) AUTHOR: QUENCY DATE: 02/13/2014 10:23:31 PM CATEGORY: 設計理論 STATUS: publish ---- BODY:
因素分析(Factor Analysis)
資料整理來源：陳順宇著，多變量分析
起源於心理學上的研究。在心理學上常會遇到一些不能直接量測的因素，例如:人的智力、EQ、人格特質、食物偏好、消費者的購買行為等。對於這些無法明確表示(抽象的)或無法測量的因素，希望可以經由一些可以測量的變數，加以訂定出這些因素。
因素分析的主要目的是對資料找出其結構，以少數幾個因素來解釋一群相互有關係存在的變數，而又能到保有原來最多的資訊，再對找出因素的進行其命名，如此方可達到因素分析的兩大目標：資料簡化和摘要。
相互有關係存在的變數受共同因素(Common Factor)及獨特因素(Specific Factor)的影響。
因素分析分成探索性因素分析 ( Exploratory Factor Analysis) 與驗證性因素分析 ( Confirmatory Factor Analysis )。 探索性因素分析 是在沒有任何限制之下，找出因素的結構。 驗證性因素分析是在已知可能的結構下，驗證是否仍適用，如線性結構方程式 (LISREL) 。
因素分析的應用
1. 找出潛在因素 2. 篩選變數 3. 對資料做摘要 4. 由變數中選取代表性變數 ( 在因素中挑選一個變數使用 ) 5. 建構效度 6. 做資料簡化 ( 相關性高的變數，僅需選取一個做代表 )
因素分析與主成分分析的比較
1. 主成分分析是以變異數為導向。因素分析是以共變異數為導向，關心每個變數與其他變數共同享有部分的大小。 2. 主成分分析是選擇一組成份 (Component) ，盡可能的解釋原變數的變異數。因素分析是選取少數因素 (Factor) ，解釋原變數的相關情形。 3. 主成分分析是所有變數的變異都考慮在內 。因素分析只考慮每一變數與其他變數共同享有的變異。 4. 主成分分析較適合做資料 ( 變數 ) 的簡化。因素分析較適合做偵測資料結構。 5. 主成分分析不需要旋轉。因素分析可能需要旋轉才能對因素命名與解釋。 6. 主成分分析是資料 ( 變數 ) 做變換 ( 線性組合 ) ，對資料 ( 變數 ) 不需要任何假設。 因素分析是假設資料 ( 變數 ) 滿足某些結構而得到的結果。
因素分析的應用
經因素分析將資料 ( 變數 ) 簡化成少數幾個因素，可對個體分群 ( 群集分析 ) ，或進行 ANOVA 、 MDS( 多元尺度 ) ，或畫因素得點的散佈圖找出異常點，或做 LISREL( 線性結構方程式 ) 的構面中測量變數指標。
因素分析模式架構
設有 p 個變數，每個變數可分解成少數 q 個 共同因素 (Common Factor) f j ( q < p ) 及 獨特因素 (Specific Factor) ε i 的線性組合。
x1=μ1+l11f1+l12f2+.....l1qfq+ε1
x2=μ2+l21f1+l22f2+.....l2qfq+ε2
......
xp=μp+lp1f1+lp2f2+.....lpqfq+εp
f1, f2,......,fq在每個變數中都擁有。 εi 只在第 i 個變數中擁有。 lij 為第 i 個變數在第 j 個共同因素的權重或因素負荷 (Factor Loading ) 。
=>矩陣表示法 X= μ + Lf + ε=> X−μ = Lf+ ε
⎡x1⎤ ⎡μ1⎤ ⎡l11 l12 ......l1q⎤ ⎡f1⎤ ⎡ε1⎤
⎥x2⎥ ⎥μ2⎥ ⎥l21 l22 ......l2q⎥ ⎥f2⎥ ⎥ε2⎥
其中 X=⎥...⎥，μ= ⎥...⎥，L= ⎥... ... ... ... ⎥，f= ⎥...⎥，ε= ⎥...⎥
⎥...⎥ ⎥...⎥ ⎥... ... ... ... ⎥ ⎥...⎥ ⎥...⎥
⎣xp⎦ ⎣μp⎦ ⎣lp1 lp2 ......lpq⎦ ⎣fp⎦ ⎣εp⎦
( 基本假設 ) E(f)=0 ， Cov(f)= Φ， E(ε)=0，Cov(ε)=Ψ ，Cov(f, ε)=0
(QUENCY:E為指數, Cov???, Φ???, Ψ???)
L 稱為負荷矩陣或圖案矩陣 (Pattern matrix)
< 通常假設 μ=0 ， Φ =I>
因素分析模式的基本假設
1. 獨特因素 ε1, ε2, ..., εp是相互獨立的且是平均數為 0，變異數為 ψi 的常態分配。
⎡ε1⎤ ⎛⎡0 ⎤ ⎡Ψ1 0 ... 0⎤
⎥ε2⎥ ⎥⎥0 ⎥ ⎥0 Ψ2 ... 0⎥
ε= ⎥...⎥ ~MN ⎥⎥...⎥，Ψ=⎥...
⎥...⎥ ⎥⎥...⎥ ⎥...⎥
⎣εp⎦ ⎝⎣0 ⎦ ⎣0
----- --------
